3.300 \(\int \frac {\tan ^7(c+d x)}{(a+b \sec (c+d x))^2} \, dx\)

Optimal. Leaf size=179 \[ \frac {\left (a^2-b^2\right )^3}{a b^6 d (a+b \sec (c+d x))}+\frac {\left (a^2-b^2\right )^2 \left (5 a^2+b^2\right ) \log (a+b \sec (c+d x))}{a^2 b^6 d}-\frac {2 a \left (2 a^2-3 b^2\right ) \sec (c+d x)}{b^5 d}+\frac {3 \left (a^2-b^2\right ) \sec ^2(c+d x)}{2 b^4 d}+\frac {\log (\cos (c+d x))}{a^2 d}-\frac {2 a \sec ^3(c+d x)}{3 b^3 d}+\frac {\sec ^4(c+d x)}{4 b^2 d} \]

[Out]

ln(cos(d*x+c))/a^2/d+(a^2-b^2)^2*(5*a^2+b^2)*ln(a+b*sec(d*x+c))/a^2/b^6/d-2*a*(2*a^2-3*b^2)*sec(d*x+c)/b^5/d+3
/2*(a^2-b^2)*sec(d*x+c)^2/b^4/d-2/3*a*sec(d*x+c)^3/b^3/d+1/4*sec(d*x+c)^4/b^2/d+(a^2-b^2)^3/a/b^6/d/(a+b*sec(d
*x+c))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.15, antiderivative size = 179, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 3, number of rules used = 2, integrand size = 21, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.095, Rules used = {3885, 894} \[ \frac {3 \left (a^2-b^2\right ) \sec ^2(c+d x)}{2 b^4 d}-\frac {2 a \left (2 a^2-3 b^2\right ) \sec (c+d x)}{b^5 d}+\frac {\left (a^2-b^2\right )^3}{a b^6 d (a+b \sec (c+d x))}+\frac {\left (a^2-b^2\right )^2 \left (5 a^2+b^2\right ) \log (a+b \sec (c+d x))}{a^2 b^6 d}+\frac {\log (\cos (c+d x))}{a^2 d}-\frac {2 a \sec ^3(c+d x)}{3 b^3 d}+\frac {\sec ^4(c+d x)}{4 b^2 d} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Tan[c + d*x]^7/(a + b*Sec[c + d*x])^2,x]

[Out]

Log[Cos[c + d*x]]/(a^2*d) + ((a^2 - b^2)^2*(5*a^2 + b^2)*Log[a + b*Sec[c + d*x]])/(a^2*b^6*d) - (2*a*(2*a^2 -
3*b^2)*Sec[c + d*x])/(b^5*d) + (3*(a^2 - b^2)*Sec[c + d*x]^2)/(2*b^4*d) - (2*a*Sec[c + d*x]^3)/(3*b^3*d) + Sec
[c + d*x]^4/(4*b^2*d) + (a^2 - b^2)^3/(a*b^6*d*(a + b*Sec[c + d*x]))

Rule 894

Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIn
tegrand[(d + e*x)^m*(f + g*x)^n*(a + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g}, x] && NeQ[e*f - d*g, 0] &&
NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && IntegerQ[p] && ((EqQ[p, 1] && IntegersQ[m, n]) || (ILtQ[m, 0] && ILtQ[n, 0]))

Rule 3885

Int[cot[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(m_.)*(csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(n_), x_Symbol] :> -Dist[(-1)^((m - 1
)/2)/(d*b^(m - 1)), Subst[Int[((b^2 - x^2)^((m - 1)/2)*(a + x)^n)/x, x], x, b*Csc[c + d*x]], x] /; FreeQ[{a, b
, c, d, n}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

Rubi steps

\begin {align*} \int \frac {\tan ^7(c+d x)}{(a+b \sec (c+d x))^2} \, dx &=-\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \frac {\left (b^2-x^2\right )^3}{x (a+x)^2} \, dx,x,b \sec (c+d x)\right )}{b^6 d}\\ &=-\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \left (2 \left (2 a^3-3 a b^2\right )+\frac {b^6}{a^2 x}-3 \left (a^2-b^2\right ) x+2 a x^2-x^3+\frac {\left (a^2-b^2\right )^3}{a (a+x)^2}-\frac {\left (a^2-b^2\right )^2 \left (5 a^2+b^2\right )}{a^2 (a+x)}\right ) \, dx,x,b \sec (c+d x)\right )}{b^6 d}\\ &=\frac {\log (\cos (c+d x))}{a^2 d}+\frac {\left (a^2-b^2\right )^2 \left (5 a^2+b^2\right ) \log (a+b \sec (c+d x))}{a^2 b^6 d}-\frac {2 a \left (2 a^2-3 b^2\right ) \sec (c+d x)}{b^5 d}+\frac {3 \left (a^2-b^2\right ) \sec ^2(c+d x)}{2 b^4 d}-\frac {2 a \sec ^3(c+d x)}{3 b^3 d}+\frac {\sec ^4(c+d x)}{4 b^2 d}+\frac {\left (a^2-b^2\right )^3}{a b^6 d (a+b \sec (c+d x))}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [B]  time = 6.22, size = 383, normalized size = 2.14 \[ \frac {(b-a)^3 (a+b)^3 \sec ^2(c+d x) (a \cos (c+d x)+b)}{a^2 b^5 d (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {2 a \left (3 b^2-2 a^2\right ) \sec ^3(c+d x) (a \cos (c+d x)+b)^2}{b^5 d (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {\left (-5 a^4+9 a^2 b^2-3 b^4\right ) \sec ^2(c+d x) \log (\cos (c+d x)) (a \cos (c+d x)+b)^2}{b^6 d (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {\left (5 a^6-9 a^4 b^2+3 a^2 b^4+b^6\right ) \sec ^2(c+d x) (a \cos (c+d x)+b)^2 \log (a \cos (c+d x)+b)}{a^2 b^6 d (a+b \sec (c+d x))^2}-\frac {3 (b-a) (a+b) \sec ^4(c+d x) (a \cos (c+d x)+b)^2}{2 b^4 d (a+b \sec (c+d x))^2}-\frac {2 a \sec ^5(c+d x) (a \cos (c+d x)+b)^2}{3 b^3 d (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {\sec ^6(c+d x) (a \cos (c+d x)+b)^2}{4 b^2 d (a+b \sec (c+d x))^2} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Tan[c + d*x]^7/(a + b*Sec[c + d*x])^2,x]

[Out]

((-a + b)^3*(a + b)^3*(b + a*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^2)/(a^2*b^5*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + ((-5*a^4 + 9*a
^2*b^2 - 3*b^4)*(b + a*Cos[c + d*x])^2*Log[Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^2)/(b^6*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + ((5*
a^6 - 9*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*(b + a*Cos[c + d*x])^2*Log[b + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^2)/(a^2*b^6*d*(
a + b*Sec[c + d*x])^2) + (2*a*(-2*a^2 + 3*b^2)*(b + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^3)/(b^5*d*(a + b*Sec[c + d*
x])^2) - (3*(-a + b)*(a + b)*(b + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^4)/(2*b^4*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) - (2*a*(b
+ a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^5)/(3*b^3*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + ((b + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^6
)/(4*b^2*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2)

________________________________________________________________________________________

fricas [A]  time = 0.58, size = 312, normalized size = 1.74 \[ -\frac {5 \, a^{3} b^{4} \cos \left (d x + c\right ) - 3 \, a^{2} b^{5} + 12 \, {\left (5 \, a^{6} b - 9 \, a^{4} b^{3} + 3 \, a^{2} b^{5} - b^{7}\right )} \cos \left (d x + c\right )^{4} + 6 \, {\left (5 \, a^{5} b^{2} - 9 \, a^{3} b^{4}\right )} \cos \left (d x + c\right )^{3} - 2 \, {\left (5 \, a^{4} b^{3} - 9 \, a^{2} b^{5}\right )} \cos \left (d x + c\right )^{2} - 12 \, {\left ({\left (5 \, a^{7} - 9 \, a^{5} b^{2} + 3 \, a^{3} b^{4} + a b^{6}\right )} \cos \left (d x + c\right )^{5} + {\left (5 \, a^{6} b - 9 \, a^{4} b^{3} + 3 \, a^{2} b^{5} + b^{7}\right )} \cos \left (d x + c\right )^{4}\right )} \log \left (a \cos \left (d x + c\right ) + b\right ) + 12 \, {\left ({\left (5 \, a^{7} - 9 \, a^{5} b^{2} + 3 \, a^{3} b^{4}\right )} \cos \left (d x + c\right )^{5} + {\left (5 \, a^{6} b - 9 \, a^{4} b^{3} + 3 \, a^{2} b^{5}\right )} \cos \left (d x + c\right )^{4}\right )} \log \left (-\cos \left (d x + c\right )\right )}{12 \, {\left (a^{3} b^{6} d \cos \left (d x + c\right )^{5} + a^{2} b^{7} d \cos \left (d x + c\right )^{4}\right )}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tan(d*x+c)^7/(a+b*sec(d*x+c))^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

-1/12*(5*a^3*b^4*cos(d*x + c) - 3*a^2*b^5 + 12*(5*a^6*b - 9*a^4*b^3 + 3*a^2*b^5 - b^7)*cos(d*x + c)^4 + 6*(5*a
^5*b^2 - 9*a^3*b^4)*cos(d*x + c)^3 - 2*(5*a^4*b^3 - 9*a^2*b^5)*cos(d*x + c)^2 - 12*((5*a^7 - 9*a^5*b^2 + 3*a^3
*b^4 + a*b^6)*cos(d*x + c)^5 + (5*a^6*b - 9*a^4*b^3 + 3*a^2*b^5 + b^7)*cos(d*x + c)^4)*log(a*cos(d*x + c) + b)
+ 12*((5*a^7 - 9*a^5*b^2 + 3*a^3*b^4)*cos(d*x + c)^5 + (5*a^6*b - 9*a^4*b^3 + 3*a^2*b^5)*cos(d*x + c)^4)*log(
-cos(d*x + c)))/(a^3*b^6*d*cos(d*x + c)^5 + a^2*b^7*d*cos(d*x + c)^4)

________________________________________________________________________________________

giac [F(-2)]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \text {Exception raised: TypeError} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tan(d*x+c)^7/(a+b*sec(d*x+c))^2,x, algorithm="giac")

[Out]

Exception raised: TypeError >> An error occurred running a Giac command:INPUT:sage2:=int(sage0,x):;OUTPUT:Unab
le to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/
2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_n
ostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*
pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2
)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_no
step/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*p
i/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign
: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to chec
k sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable t
o check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Un
able to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_noste
p/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t
_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-
2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep
/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_
nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2
*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check si
gn: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to ch
eck sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable
to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)
Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nos
tep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi
/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>
(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nost
ep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/
t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign:
(2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check
sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to
check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unab
le to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/
2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_n
ostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*
pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2
)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_no
step/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*p
i/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign
: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to chec
k sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable t
o check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Un
able to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_noste
p/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t
_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-
2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep
/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_
nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2
*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check si
gn: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to ch
eck sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable
to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)
Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nos
tep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi
/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>
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ep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/
t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign:
(2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check sign: (2*pi/t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Unable to check
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t_nostep/2)>(-2*pi/t_nostep/2)Evaluation time: 5.9Unable to divide, perhaps due to rounding error%%%{268435456
,[7,8,8]%%%}+%%%{-2147483648,[7,7,9]%%%}+%%%{7516192768,[7,6,10]%%%}+%%%{-15032385536,[7,5,11]%%%}+%%%{1879048
1920,[7,4,12]%%%}+%%%{-15032385536,[7,3,13]%%%}+%%%{7516192768,[7,2,14]%%%}+%%%{-2147483648,[7,1,15]%%%}+%%%{2
68435456,[7,0,16]%%%}+%%%{-805306368,[6,8,8]%%%}+%%%{7516192768,[6,7,9]%%%}+%%%{-30064771072,[6,6,10]%%%}+%%%{
67645734912,[6,5,11]%%%}+%%%{-93952409600,[6,4,12]%%%}+%%%{82678120448,[6,3,13]%%%}+%%%{-45097156608,[6,2,14]%
%%}+%%%{13958643712,[6,1,15]%%%}+%%%{-1879048192,[6,0,16]%%%}+%%%{268435456,[5,8,8]%%%}+%%%{-6442450944,[5,7,9
]%%%}+%%%{38654705664,[5,6,10]%%%}+%%%{-111669149696,[5,5,11]%%%}+%%%{185220464640,[5,4,12]%%%}+%%%{-186831077
376,[5,3,13]%%%}+%%%{113816633344,[5,2,14]%%%}+%%%{-38654705664,[5,1,15]%%%}+%%%{5637144576,[5,0,16]%%%}+%%%{1
342177280,[4,8,8]%%%}+%%%{-5368709120,[4,7,9]%%%}+%%%{-5368709120,[4,6,10]%%%}+%%%{69793218560,[4,5,11]%%%}+%%
%{-174483046400,[4,4,12]%%%}+%%%{220117073920,[4,3,13]%%%}+%%%{-155692564480,[4,2,14]%%%}+%%%{59055800320,[4,1
,15]%%%}+%%%{-9395240960,[4,0,16]%%%}+%%%{-1342177280,[3,8,8]%%%}+%%%{10737418240,[3,7,9]%%%}+%%%{-26843545600
,[3,6,10]%%%}+%%%{10737418240,[3,5,11]%%%}+%%%{67108864000,[3,4,12]%%%}+%%%{-139586437120,[3,3,13]%%%}+%%%{123
480309760,[3,2,14]%%%}+%%%{-53687091200,[3,1,15]%%%}+%%%{9395240960,[3,0,16]%%%}+%%%{-268435456,[2,8,8]%%%}+%%
%{-3221225472,[2,7,9]%%%}+%%%{19327352832,[2,6,10]%%%}+%%%{-33285996544,[2,5,11]%%%}+%%%{8053063680,[2,4,12]%%
%}+%%%{41875931136,[2,3,13]%%%}+%%%{-55834574848,[2,2,14]%%%}+%%%{28991029248,[2,1,15]%%%}+%%%{-5637144576,[2,
0,16]%%%}+%%%{805306368,[1,8,8]%%%}+%%%{-2147483648,[1,7,9]%%%}+%%%{-2147483648,[1,6,10]%%%}+%%%{12884901888,[
1,5,11]%%%}+%%%{-13421772800,[1,4,12]%%%}+%%%{-2147483648,[1,3,13]%%%}+%%%{12884901888,[1,2,14]%%%}+%%%{-85899
34592,[1,1,15]%%%}+%%%{1879048192,[1,0,16]%%%}+%%%{-268435456,[0,8,8]%%%}+%%%{1073741824,[0,7,9]%%%}+%%%{-1073
741824,[0,6,10]%%%}+%%%{-1073741824,[0,5,11]%%%}+%%%{2684354560,[0,4,12]%%%}+%%%{-1073741824,[0,3,13]%%%}+%%%{
-1073741824,[0,2,14]%%%}+%%%{1073741824,[0,1,15]%%%}+%%%{-268435456,[0,0,16]%%%} / %%%{1,[7,2,0]%%%}+%%%{-2,[7
,1,1]%%%}+%%%{1,[7,0,2]%%%}+%%%{-3,[6,2,0]%%%}+%%%{10,[6,1,1]%%%}+%%%{-7,[6,0,2]%%%}+%%%{1,[5,2,0]%%%}+%%%{-18
,[5,1,1]%%%}+%%%{21,[5,0,2]%%%}+%%%{5,[4,2,0]%%%}+%%%{10,[4,1,1]%%%}+%%%{-35,[4,0,2]%%%}+%%%{-5,[3,2,0]%%%}+%%
%{10,[3,1,1]%%%}+%%%{35,[3,0,2]%%%}+%%%{-1,[2,2,0]%%%}+%%%{-18,[2,1,1]%%%}+%%%{-21,[2,0,2]%%%}+%%%{3,[1,2,0]%%
%}+%%%{10,[1,1,1]%%%}+%%%{7,[1,0,2]%%%}+%%%{-1,[0,2,0]%%%}+%%%{-2,[0,1,1]%%%}+%%%{-1,[0,0,2]%%%} Error: Bad Ar
gument Value

________________________________________________________________________________________

maple [A]  time = 0.49, size = 324, normalized size = 1.81 \[ -\frac {a^{4}}{d \,b^{5} \left (b +a \cos \left (d x +c \right )\right )}+\frac {3 a^{2}}{d \,b^{3} \left (b +a \cos \left (d x +c \right )\right )}-\frac {3}{d b \left (b +a \cos \left (d x +c \right )\right )}+\frac {b}{d \,a^{2} \left (b +a \cos \left (d x +c \right )\right )}+\frac {5 a^{4} \ln \left (b +a \cos \left (d x +c \right )\right )}{d \,b^{6}}-\frac {9 a^{2} \ln \left (b +a \cos \left (d x +c \right )\right )}{d \,b^{4}}+\frac {3 \ln \left (b +a \cos \left (d x +c \right )\right )}{d \,b^{2}}+\frac {\ln \left (b +a \cos \left (d x +c \right )\right )}{d \,a^{2}}+\frac {3 a^{2}}{2 d \,b^{4} \cos \left (d x +c \right )^{2}}-\frac {3}{2 d \,b^{2} \cos \left (d x +c \right )^{2}}-\frac {5 \ln \left (\cos \left (d x +c \right )\right ) a^{4}}{d \,b^{6}}+\frac {9 \ln \left (\cos \left (d x +c \right )\right ) a^{2}}{d \,b^{4}}-\frac {3 \ln \left (\cos \left (d x +c \right )\right )}{d \,b^{2}}+\frac {1}{4 d \,b^{2} \cos \left (d x +c \right )^{4}}-\frac {2 a}{3 d \,b^{3} \cos \left (d x +c \right )^{3}}-\frac {4 a^{3}}{d \,b^{5} \cos \left (d x +c \right )}+\frac {6 a}{d \,b^{3} \cos \left (d x +c \right )} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(tan(d*x+c)^7/(a+b*sec(d*x+c))^2,x)

[Out]

-1/d*a^4/b^5/(b+a*cos(d*x+c))+3/d*a^2/b^3/(b+a*cos(d*x+c))-3/d/b/(b+a*cos(d*x+c))+1/d/a^2*b/(b+a*cos(d*x+c))+5
/d/b^6*a^4*ln(b+a*cos(d*x+c))-9/d/b^4*a^2*ln(b+a*cos(d*x+c))+3/d/b^2*ln(b+a*cos(d*x+c))+1/d/a^2*ln(b+a*cos(d*x
+c))+3/2/d/b^4/cos(d*x+c)^2*a^2-3/2/d/b^2/cos(d*x+c)^2-5/d/b^6*ln(cos(d*x+c))*a^4+9/d/b^4*ln(cos(d*x+c))*a^2-3
/d/b^2*ln(cos(d*x+c))+1/4/d/b^2/cos(d*x+c)^4-2/3/d*a/b^3/cos(d*x+c)^3-4/d*a^3/b^5/cos(d*x+c)+6/d*a/b^3/cos(d*x
+c)

________________________________________________________________________________________

maxima [A]  time = 0.51, size = 227, normalized size = 1.27 \[ -\frac {\frac {5 \, a^{3} b^{3} \cos \left (d x + c\right ) - 3 \, a^{2} b^{4} + 12 \, {\left (5 \, a^{6} - 9 \, a^{4} b^{2} + 3 \, a^{2} b^{4} - b^{6}\right )} \cos \left (d x + c\right )^{4} + 6 \, {\left (5 \, a^{5} b - 9 \, a^{3} b^{3}\right )} \cos \left (d x + c\right )^{3} - 2 \, {\left (5 \, a^{4} b^{2} - 9 \, a^{2} b^{4}\right )} \cos \left (d x + c\right )^{2}}{a^{3} b^{5} \cos \left (d x + c\right )^{5} + a^{2} b^{6} \cos \left (d x + c\right )^{4}} + \frac {12 \, {\left (5 \, a^{4} - 9 \, a^{2} b^{2} + 3 \, b^{4}\right )} \log \left (\cos \left (d x + c\right )\right )}{b^{6}} - \frac {12 \, {\left (5 \, a^{6} - 9 \, a^{4} b^{2} + 3 \, a^{2} b^{4} + b^{6}\right )} \log \left (a \cos \left (d x + c\right ) + b\right )}{a^{2} b^{6}}}{12 \, d} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tan(d*x+c)^7/(a+b*sec(d*x+c))^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

-1/12*((5*a^3*b^3*cos(d*x + c) - 3*a^2*b^4 + 12*(5*a^6 - 9*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 - b^6)*cos(d*x + c)^4 + 6*(5*a^
5*b - 9*a^3*b^3)*cos(d*x + c)^3 - 2*(5*a^4*b^2 - 9*a^2*b^4)*cos(d*x + c)^2)/(a^3*b^5*cos(d*x + c)^5 + a^2*b^6*
cos(d*x + c)^4) + 12*(5*a^4 - 9*a^2*b^2 + 3*b^4)*log(cos(d*x + c))/b^6 - 12*(5*a^6 - 9*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b
^6)*log(a*cos(d*x + c) + b)/(a^2*b^6))/d

________________________________________________________________________________________

mupad [B]  time = 3.09, size = 505, normalized size = 2.82 \[ \frac {\frac {2\,{\mathrm {tan}\left (\frac {c}{2}+\frac {d\,x}{2}\right )}^6\,\left (20\,a^5+5\,a^4\,b-31\,a^3\,b^2-4\,a^2\,b^3+8\,a\,b^4+4\,b^5\right )}{a\,b^5}-\frac {2\,\left (15\,a^5+15\,a^4\,b-22\,a^3\,b^2-22\,a^2\,b^3+3\,a\,b^4+3\,b^5\right )}{3\,a\,b^5}+\frac {2\,{\mathrm {tan}\left (\frac {c}{2}+\frac {d\,x}{2}\right )}^2\,\left (60\,a^5+45\,a^4\,b-83\,a^3\,b^2-66\,a^2\,b^3+6\,a\,b^4+12\,b^5\right )}{3\,a\,b^5}-\frac {2\,{\mathrm {tan}\left (\frac {c}{2}+\frac {d\,x}{2}\right )}^4\,\left (90\,a^5+45\,a^4\,b-127\,a^3\,b^2-56\,a^2\,b^3+6\,a\,b^4+18\,b^5\right )}{3\,a\,b^5}+\frac {2\,{\mathrm {tan}\left (\frac {c}{2}+\frac {d\,x}{2}\right )}^8\,\left (a-b\right )\,\left (-5\,a^4-5\,a^3\,b+4\,a^2\,b^2+4\,a\,b^3+b^4\right )}{a\,b^5}}{d\,\left (\left (b-a\right )\,{\mathrm {tan}\left (\frac {c}{2}+\frac {d\,x}{2}\right )}^{10}+\left (5\,a-3\,b\right )\,{\mathrm {tan}\left (\frac {c}{2}+\frac {d\,x}{2}\right )}^8+\left (2\,b-10\,a\right )\,{\mathrm {tan}\left (\frac {c}{2}+\frac {d\,x}{2}\right )}^6+\left (10\,a+2\,b\right )\,{\mathrm {tan}\left (\frac {c}{2}+\frac {d\,x}{2}\right )}^4+\left (-5\,a-3\,b\right )\,{\mathrm {tan}\left (\frac {c}{2}+\frac {d\,x}{2}\right )}^2+a+b\right )}-\frac {\ln \left ({\mathrm {tan}\left (\frac {c}{2}+\frac {d\,x}{2}\right )}^2+1\right )}{a^2\,d}-\frac {\ln \left ({\mathrm {tan}\left (\frac {c}{2}+\frac {d\,x}{2}\right )}^2-1\right )\,\left (5\,a^4-9\,a^2\,b^2+3\,b^4\right )}{b^6\,d}+\frac {\ln \left (a+b-a\,{\mathrm {tan}\left (\frac {c}{2}+\frac {d\,x}{2}\right )}^2+b\,{\mathrm {tan}\left (\frac {c}{2}+\frac {d\,x}{2}\right )}^2\right )\,{\left (a^2-b^2\right )}^2\,\left (5\,a^2+b^2\right )}{a^2\,b^6\,d} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(tan(c + d*x)^7/(a + b/cos(c + d*x))^2,x)

[Out]

((2*tan(c/2 + (d*x)/2)^6*(8*a*b^4 + 5*a^4*b + 20*a^5 + 4*b^5 - 4*a^2*b^3 - 31*a^3*b^2))/(a*b^5) - (2*(3*a*b^4
+ 15*a^4*b + 15*a^5 + 3*b^5 - 22*a^2*b^3 - 22*a^3*b^2))/(3*a*b^5) + (2*tan(c/2 + (d*x)/2)^2*(6*a*b^4 + 45*a^4*
b + 60*a^5 + 12*b^5 - 66*a^2*b^3 - 83*a^3*b^2))/(3*a*b^5) - (2*tan(c/2 + (d*x)/2)^4*(6*a*b^4 + 45*a^4*b + 90*a
^5 + 18*b^5 - 56*a^2*b^3 - 127*a^3*b^2))/(3*a*b^5) + (2*tan(c/2 + (d*x)/2)^8*(a - b)*(4*a*b^3 - 5*a^3*b - 5*a^
4 + b^4 + 4*a^2*b^2))/(a*b^5))/(d*(a + b - tan(c/2 + (d*x)/2)^10*(a - b) - tan(c/2 + (d*x)/2)^2*(5*a + 3*b) +
tan(c/2 + (d*x)/2)^4*(10*a + 2*b) + tan(c/2 + (d*x)/2)^8*(5*a - 3*b) - tan(c/2 + (d*x)/2)^6*(10*a - 2*b))) - l
og(tan(c/2 + (d*x)/2)^2 + 1)/(a^2*d) - (log(tan(c/2 + (d*x)/2)^2 - 1)*(5*a^4 + 3*b^4 - 9*a^2*b^2))/(b^6*d) + (
log(a + b - a*tan(c/2 + (d*x)/2)^2 + b*tan(c/2 + (d*x)/2)^2)*(a^2 - b^2)^2*(5*a^2 + b^2))/(a^2*b^6*d)

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sympy [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int \frac {\tan ^{7}{\left (c + d x \right )}}{\left (a + b \sec {\left (c + d x \right )}\right )^{2}}\, dx \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tan(d*x+c)**7/(a+b*sec(d*x+c))**2,x)

[Out]

Integral(tan(c + d*x)**7/(a + b*sec(c + d*x))**2, x)

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